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本系列来自Youtuber-William Spaniel 的Game Theory 101系列：我将在此持续更新我的学习笔记。
严格支配的混合策略
我们今天的主题是关于严格支配的混合策略（Strictly Dominant Mixed Strategies）。
什么是严格支配？
在之前的内容中，我们讨论了纯策略如何能够严格支配另一种纯策略。然而，我们还没有涉及这种概念如何应用于混合策略。今天，我们将把混合策略与严格支配的概念结合起来。这是一个关键的进展，因为即使在纯策略之间没有严格支配关系时，混合策略也可能会揭示新的解构方法。
示例游戏
我们来看一个简单的例子：
- 玩家一有三个策略：上、中、下（Up, Middle, Down）。
- 玩家二有两个策略：左和右（Left, Right）。
如果你想亲自验证，可以暂停一下并思考。但实际上，这个游戏的纯策略中并不存在任何严格支配关系。这意味着仅通过纯策略，我们无法消去任何一个策略。然而，通过引入混合策略，我们可以进一步简化游戏。
混合策略如何严格支配？
假设玩家一选择以下混合策略：
- 以 1/2 的概率选择“上”；
- 以 1/2 的概率选择“下”。
我们来分析玩家二的反应：
- 当玩家二选择“左”：
- 玩家一有一半时间得到3（选择“上”），一半时间得到-1（选择“下”）。
- 平均收益为
- 当玩家二选择“右”：
- 玩家一有一半时间得到-1（选择“上”），一半时间得到2（选择“下”）。
- 平均收益为
无论玩家二选择“左”还是“右”，玩家一的这组混合策略（1/2 上，1/2 下）都优于选择纯策略“中”（其收益固定为0）。因此，纯策略“中”被严格支配，可以被消去。
消去后如何求解？
消去“中”之后，游戏简化为一个熟悉的 对阵表。此时：
- 玩家一的策略为“上”和“下”；
- 玩家二的策略为“左”和“右”。
分析后我们可以发现，这个游戏没有纯策略的纳什均衡。这是因为两个玩家的目标互相冲突，类似于“猜拳”或“猜硬币”问题。
求混合策略纳什均衡
通过公式计算，我们可以得到混合策略纳什均衡：
- 玩家一以 3/5 的概率选择“上”，以 2/5 的概率选择“下”；
- 玩家二以 3/7 的概率选择“左”，以 4/7 的概率选择“右”。
结论
本节的主要启示在于，严格支配不仅适用于纯策略，也适用于混合策略。当纯策略之间没有严格支配关系时，引入混合策略可能会帮助我们简化问题。
在下一节中，我们将讨论 弱支配策略（Weakly Dominant Strategies）。与严格支配相比，弱支配更具挑战性，规则也更加复杂。敬请期待！
弱支配策略（Weak Dominance）
什么是弱支配？
弱支配是严格支配的一个放宽版。在一个博弈中，如果一个策略总是 至少与另一个策略一样好，并且在某些情况下更好，我们称它为“弱支配”。相比严格支配，弱支配更复杂，因为它允许一种策略在某些情况下与另一种策略的结果相等，而严格支配要求在所有情况下都更优。
示例博弈
我们来看一个简单的两人博弈：
- 玩家一有两个策略：上（Up）和下（Down）。
- 玩家二也有两个策略：左（Left）和右（Right）。
比较玩家二的“左”和“右”策略：
- 当玩家一选择“上”时：
- 玩家二选择“左”时的收益是1；
- 玩家二选择“右”时的收益是0。
- 在这种情况下，“左”优于“右”。
- 当玩家一选择“下”时：
- 玩家二的收益是2，无论选择“左”还是“右”。
- 在这种情况下，“左”和“右”等价。
综合来看，“左”至少与“右”一样好，在某些情况下更好。因此，我们说 “左”弱支配“右”。
弱支配策略的消去
现在假设我们采用 弱支配策略的迭代消去法。
- 由于“右”被“左”弱支配，我们可以消去“右”。
- 消去后，剩下的游戏只有玩家二的策略“左”，以及玩家一的两个策略“上”和“下”。
- 玩家一会选择使自己收益最大的策略。在这里，如果玩家二固定选择“左”，玩家一会选择“上”，因为“上”的收益为3，比“下”的收益2更高。
因此，通过弱支配策略的迭代消去，我们得到一个纳什均衡：玩家一选择“上”，玩家二选择“左”。
弱支配的陷阱
尽管弱支配策略的迭代消去可以简化游戏，但它可能会导致我们遗漏一些纳什均衡。来看原始游戏：
- 如果玩家二选择“右”，玩家一选择“下”，两人的收益分别为2和2。
- 检查这一组合是否为纳什均衡：
- 玩家二无法通过切换到“左”获得更高的收益（2仍然是最佳收益）。
- 玩家一无法通过切换到“上”获得更高的收益（收益会从2变为0）。
因此，“下，右” 也是一个纳什均衡。
通过弱支配消去法，我们可能会遗漏掉这个纳什均衡。因此，弱支配策略的处理需要更谨慎。
为什么弱支配策略可能被选择？
虽然从理性角度看，弱支配策略似乎不应被选择，但在某些情况下，它可能具有实际意义。例如：
- 分配性偏好：在上述博弈中，玩家二可能偏好“右”，因为这样她的收益是2，而不是选择“左”时的1。
- 可信承诺：玩家二可以通过“承诺”选择“右”来引导玩家一的决策。如果玩家二表明她会选择“右”，玩家一将更倾向于选择“下”，从而实现对玩家二更有利的纳什均衡。
弱支配策略的结论
- 弱支配策略的迭代消去可能帮助我们找到纳什均衡，但可能会遗漏其他均衡。
- 弱支配策略在某些情况下可能对玩家有战略意义，特别是在涉及分配偏好和可信承诺时。
在下一节中，我们将讨论具有无穷多个纳什均衡的博弈模型，敬请期待！
无限多个均衡
在博弈论中，纳什均衡是一组策略组合，所有玩家在给定其他玩家策略的情况下，无法通过单方面改变自己的策略来提高自己的收益。今天我们将讨论一个特殊的情况：博弈中可能存在无限多个纳什均衡。
示例博弈
这是我们要研究的博弈：
- 玩家一有两个策略：上（Up）和下（Down）。
- 玩家二也有两个策略：左（Left）和右（Right）。
初步分析如下：
- 严格支配策略的消去
- 玩家二的策略“右”是被“左”严格支配的：
- 如果玩家一选择“上”，“左”的收益为1，“右”的收益为0；
- 如果玩家一选择“下”，“左”的收益为-2，“右”的收益为-5。
- 不论玩家一如何选择，“左”的收益始终比“右”高，因此“右”可以被消去。
- 简化后的博弈
- 玩家一的策略为“上”和“下”；
- 玩家二的唯一选择是“左”。
- 在这种情况下，玩家一的收益始终是3，无论选择“上”还是“下”。这意味着玩家一在纯策略下对“上”和“下”无所谓（收益相等）。
消去“右”后，博弈简化为：
存在的纳什均衡
在这个博弈中，我们发现以下均衡：
- 纯策略纳什均衡
- 玩家二选择“左”，玩家一选择“上”或“下”。
- 在这两种情况下，任何一方都没有激励单方面改变自己的策略。
- 因此，“上-左”和“下-左”是两个纯策略纳什均衡。
- 部分混合策略纳什均衡
- 玩家二始终选择“左”这一纯策略，而玩家一在“上”和“下”之间随机选择，遵循混合策略：
- 玩家一选择“上”的概率为 P；选择“下”的概率为 1−P。
- 因为玩家一对“上”和“下”无所谓，他可以选择任意 。
由于在 区间内有无穷多个数值，玩家一可以采用无穷多种混合策略。这意味着此博弈存在无限多个纳什均衡。
为什么会出现无限多个均衡？
关键在于：
- 玩家二选择“左”后，玩家一对“上”和“下”完全无差别（收益均为3）。这种“无差别”使得玩家一可以自由选择混合策略，而不会影响玩家二的决策。
- 玩家二永远不会选择“右”，因为它是一个被严格支配的策略。
因此，只要一个玩家的纯策略让另一个玩家在自己的选择上无差别，就可能导致无限多个部分混合策略纳什均衡。
一个重要的观察
这种现象并不罕见，尤其是在博弈中存在一个玩家的纯策略使另一方无差别的情况下。实际上，这种情况在我们前面提到的弱支配博弈中也可能出现。你可以尝试回顾弱支配的案例并寻找其中的混合策略均衡。
总结与展望
- 无限多个均衡的成因：当一个玩家的纯策略让另一个玩家无差别时，就可能出现无限多个部分混合策略纳什均衡。
- 纳什均衡的形式：纯策略和混合策略均衡可以共存，混合策略可能是无穷多个。
下一步：我们将在下一节中探讨博弈中纳什均衡的数量特性，例如为什么许多博弈的均衡数是奇数。
奇数规则（The Odd Rule）
奇数规则指出，几乎所有的博弈都包含奇数个纳什均衡。这一规律可以通过以下例子观察到：
- 单个均衡的例子：
- 囚徒困境：1个纯策略纳什均衡。
- 匹配硬币和混合策略算法博弈：各有1个混合策略纳什均衡。
- 多个均衡的例子：
- 性别之战：3个纳什均衡（2个纯策略、1个混合策略）。
- 鹿猎博弈和红绿灯博弈：各有2个纯策略纳什均衡，但在应用混合策略算法后，每个博弈还额外包含1个混合策略均衡，总共3个均衡。
几乎所有博弈都遵循这一规则，拥有奇数个均衡。但也有一些例外：
- 无限个均衡：通常与弱支配策略有关（例如之前讨论的博弈）。
- 偶数个均衡：这种情况非常罕见。
免费金钱博弈（The Free Money Game）
这是一个有趣的例子，展示了博弈中如何出现偶数个纳什均衡。
博弈规则
- 你和你的朋友需要通过一次盲投表决来决定是否接受免费金钱。
- 投票规则：
- 如果双方都投“是（Yes）”，每人获得1美元。
- 如果其中一方投“否（No）”，两人都得不到钱。
纳什均衡分析
- 均衡1：是-是（Yes-Yes）
- 如果两人都投“是”，双方各得1美元。
- 任何一方单方面改为“否”，都会从1美元降到0美元，因此没有人愿意偏离这个策略组合。
- 这是一个纯策略纳什均衡。
- 均衡2：否-否（No-No）
- 如果两人都投“否”，双方都得不到钱。
- 任何一方单方面改为“是”，仍然得不到钱，因此也没有人愿意偏离这个策略组合。
- 这是另一个纯策略纳什均衡。
为什么没有其他均衡？
为了验证是否存在其他均衡，特别是混合策略纳什均衡，我们进行如下分析：
- 假设玩家一采用混合策略，在“是”和“否”之间以某种概率分配。
- 玩家二的最佳回应是选择“是”，因为“否”永远带来0收益，而“是”有可能带来正收益。
然而，如果玩家二总是选择“是”，玩家一就会选择纯策略“是”，以保证自己的收益最大化。这表明博弈中不可能存在混合策略均衡。
奇数规则的例外
免费金钱博弈是一个特例，拥有偶数个纳什均衡（2个），主要原因是：
- 弱支配策略的存在：
- 对每位玩家来说，“是”弱支配“否”，因为“是”在某些情况下提供更高的收益，而在其他情况下提供与“否”相同的收益。
这种情况在博弈中非常罕见，通常需要仔细检查是否遗漏了其他均衡（例如混合策略均衡）。如果确实只发现偶数个均衡，大概率是因为存在类似的弱支配策略。
结论与展望
- 奇数规则：几乎所有博弈的纳什均衡数为奇数。
- 例外情况：偶数个或无限个均衡通常与弱支配策略有关。
- 免费金钱博弈的启示：在某些投票类博弈中，可能出现偶数个纳什均衡，体现了弱支配策略的影响。
下一个话题：我们将进入新的单元，讨论序贯博弈和子博弈完美均衡，探索玩家如何通过提前规划和战略思考优化决策。敬请期待！
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